موضوع : مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی

توضیح: این فایل به صورت ورد و آماده چاپ می باشد

خلاصه‌ي مطالب
برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبي را از نظر گراميتان بگذرانم كه بديع باشد و قابل ارائه، اميدوارم رضايت خاطر شما خوانندگان گرامي را جلب نمايم. دراينجا خلاصه‌اي از مطالبي كه مطالعه خواهيد كرد آورده شده است.
دريك حلقه‌ي جابجايي و يكدار R، گراف مقسوم عليه صفر،  ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر R مي باشند كه درآن دو رأس مجزاي xو y مجاورند هرگاه xy=0. اين مقاله اثباتي براين مطلب است كه اگر R نوتري باشد آن گاه شعاع  ،0،1 و يا 2 مي باشد و نشان داده مي شود كه وقتي R آريتن مي‌باشد اجتماع مركز با مجموعه {0} اجتماعي از ايده آل هاي پوچ ساز است. زماني كه مركز گراف مشخص شده باشد مي توان قطر   را تعيين كرد و نشان داده مي‌شود كه اگر R حلقه‌ي متناهي باشد آن گاه ميانه زير مجموعه اي از مركز آن است. زماني كه R آريتن باشد با به كاربردن عناصري از مركز   مي‌توان يك مجموعه‌ي غالب از   ساخت و نشان داده مي شود كه براي حلقه‌ي متناهي  ، كه F ميدان متناهي است، عدد غالب   مساوي با تعداد ايده آل هاي ماكسيمال مجزاي R است. و همچنين نتايج ديگري روي ساختارهاي   بيان مي‌شود.
واژه هاي كليدي
مجموعه هاي مركزي؛ حلقه‌ي جابجايي؛ مقسوم عليه صفر؛ گراف مقسوم عليه صفر
فصل اول
1-مقدمه
حلقه‌ي جابجايي و يكدار R داده شده است. گراف مقسوم عليه صفر،  ، گرافي است كه رأس هاي آن مقسوم عليه هاي صفر غيرصفر حلقه R مي باشند، بين دو رأس مجزاي x  و y يال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم عليه صفر حلقه‌ي R با   نشان داده مي شود. اين تعريف از   ابتدا توسط livings ston (1999) و anderson بيان شد كه تعداد زيادي از ويژگي هاي اساسي   مورد بررسي قرار گرفت. تعريف اصلي توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Auderson بيان شد كه همه‌ي عناصر حلقه به عنوان رأس هاي گراف انتخاب مي شدند.
و anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌هاي ديگري درارتباط با گراف مقسوم عليه صفر از حلقه هاي جابجايي مي‌باشند. اين ساختار هاي گرافيكي به شكل موضوع هاي جبري ديگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعميم داده شده است، كه در ادامه به آن مي پردازيم.
درطول اين پژوهش برآنيم كه نتايجي را روي حلقه هاي يكدار و جابجايي متناهي بيابيم. اين نتايج براي عمومي ترين موارد ممكن بيان مي شود. هدف ارائه دادن همه‌ي نظريه هاي كاربردي از مركزيت گراف و تحقيق درمورد مفاهيم تقريباً محض از گراف هاي مقسوم عليه صفر مي باشد. ابتدا نشان داده مي شود كه شعاع هاي گراف مقسوم عليه صفر يك حلقه نوتري و جابجايي و يكدار 0، 1، 2 مي‌باشد. اين قضيه دربخش هاي بعدي براي تعريف خصوصيات سه مجموعه مركزي (مركز، ميانه و مجموعه هاي غالب با اندازه‌ي مي نيمال) درگراف هاي مقسوم عليه صفر از حلقه‌هاي جابجايي و يكدار به كاربرده مي شود. و نيز ارتباط بين اين مجموعه ها مورد بررسي قرار مي گيرد. به عنوان پيامدي از اين نتايج، ويژگي هاي ديگري از   را بيان مي كنيم كه از جمله‌ي آن ها قطر و كران هاي روي تعداد يال هاي گراف مي‌باشد. 
2-پيش نيازها
بالطبع لازمه‌ي پردازش به مبحث مجموعه هاي مركزي و شعاع ها در گراف هاي مقسوم عليه صفر حلقه هاي جابجايي واقف بودن به تعاريفي است كه آن را بايد پيش نياز ناميد:
تعريف1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ي عناصر   مي باشد به طوري كه xy=0 به عبارت ديگر                                                     
تعريف 2.2.1 عنصر ناصفر x درحلقه‌ي R را يك مقسوم عليه صفر (zero dirisor)  گوييم هرگاه عنصر ناصفري از R مانند  موجود باشد به طوري كه xy=0.
مجموعه‌ي مقسوم عليه هاي صفر حلقه‌ي R را با Z(R) نشان مي دهيم كه به صورت زير مي‌باشد:
 تعريف 3.2.1 عنصر   راعنصر پوچ توان R (nillpotent) مي ناميم هرگاه   موجود باشد به طوري كه xn=0.
تذكر: بديهي است كه هر عنصر پوچ توان يك مقسوم عليه صفر حلقه مي‌باشد.
تعريف 4.2.1 پوچ راديكال (nillradical) حلقه‌ي R ايده آلي شامل همه‌ي عناصر پوچ توان حلقه R مي باشد كه به صورت nill (R) نمايش داده مي شود.
تعريف 5.2.1 اشتراك همه‌ي ايده آل هاي ماكسيمال حلقه‌ي R را راديكال ژاكوبسون R (Jacobson) مي ناميم و با J(R) نمايش مي دهيم.
تعريف 6.2.1 حلقه‌ي R راتحويل يافته يا تقليل يافته  (reduced) مي ناميم هرگاه عنصر پوچ توان غيرصفر نداشته باشد.
اكنون مروري داريم بر بعضي از تعريفات و نمادهاي نظريه گراف:
تعريف 7.2.1  گرافي مانند G=(V,E) ساختاري است مركب از يك مجموعه‌ي متناهي مانند V از رئوس (گره ها) كه با نماد V(G) نشان داده مي شود و يك زير مجموعه از زير مجموعه هاي دو عنصري V مانند E از يال ها، و دو رأس از V مانند W,V مجاورند اگر يالي مانند e از E آن دو را به هم وصل كند. يالي كه رأسي را به خودش وصل كند طوقه نام دارد.
فهرست
عنوان     
پيش گفتار    
خلاصه‌ي مطالب    
1فصل اول    
1-1مقدمه    
1-2پيش نيازها    
تعاريف    
قضيه ها   
2فصل دوم    
2-2مركز    
2-3 ميانه    
2-4 مجموعه هاي غالب    
منابع