موضوع : مقاله تحلیل های ریاضی

صفحات و پوسته ها Plates & Shells سازه هايی هستند که ضخامتشان خيلی کوچکتر از ساير ابعاد آنها می باشد اينگونه سازه ها با شرايط تکيه گاهی مفصلی قابل حرکت و غيرقابل حرکت گيردار و الاستيکی مورد مطالعه قرار می گيرد و در تمام صنايع کاربرد فراوانی دارند از جمله صنايع خودروسازی موشک سازی ساختمان سازی مخازن صنايع جنگی سد سازی باسکول سازی کشتی سازی و به همين دليل تحليل صفحات و پوسته ها بسيار مهم بوده و يکی از مهمترين مباحث مقاومت مصالح و الاستيسيته را شامل مي شوند

اين سازه ها در صورتيکه بارهای خارجی بر روی صفحه ای تغيير نمايد چنانچه تغييرات نسبت به زمان کم باشد از اثر اينرسی حرکتی می توان صرف نظر نمود و رفتار سازه با معادلات استاتيکی و با تقريب خوبی بيان می گردد در موشکها و سفينه ها و در بعضی از سازه ها , تغييرات شديد بار نسبت به زمان اتفاق می افتد در اين قبيل موارد اثر اينرسی بايد در نظر گرفته شود و رفتار ديناميکی سيستم برحسب تابعی از زمان بايد دنبال شود

در اينجا لازم است قبل از هر چيزي به ذكر وجه تمايز بين صفحات و پوسته ها بپردازيم صفحات سطوحي هستند تخت كه تنها به كمك دو محور از سه محور z,y,x قابل بيان مي باشند در واقع چنانچه از ضخامت صفحه به خاطر ناچيز بودن آن صرف نظر كنيم مي توانيم صفحه را يك جسم دو بعدي به حساب آوريم صفحه تحت تأثير بارهاي خارج از سطح خود دچار خمش شده و تنش هاي به وجود  آمده در آن به كمك تئوري خمشي قابل بررسي مي باشد اما پوسته ها سطوحي هستند داراي انحناء و تابع هر سه محور z,y,x كه به دو رده پوسته هاي نازك و پوسته هاي با ضخامت زياد تقسيم مي گردند در واقع پوسته نازك جسمي است دو بعدي كه در يك فضاي سه بعدي بررسي مي شود پوسته ها به خاطر دارا بودن انحناء اوليه داراي مقاومت خمشي بيشتري نسبت به صفحه است و اغلب از طريق تنش هاي غشايي كه در آن به وجود مي آيد در مقابل بارهاي خارجي مقاومت مي كند

انواع صفحه در تحليل رياضي صفحات به سه گروه زير تقسيم مي شوند صفحات نازك با خميدگي كوچك تغيير شكل هاي كوچك چنانچه نسبت ضخامت صفحه t به كوچكترين بعد سطح آن b كمتر يا مساوي   باشد صفحه را نازك مي ناميم تغيير شكل خمشي اين صفحه زماني كوچك فرض مي شود كه نسبت آن به ضخامت كمتر يا مساوي   باشد به عبارتي خميدگي كوچك وقتي اتفاق مي افتد كه بيشترين خيز صفحه از ضخامت صفحه كمتر باشد در تئوري كلاسيك تغيير شكل هاي كوچك صفحات از تغيير شكل صفحه ميانتار در راستاي شعاعي و محيطي صرف نظر مي شود و تحليل رياضي صفحه به يك معادله ديفرانسيل خطي مي انجامد كه به روشهاي تحليلي رياضي قابل حل است

بايد اين نكته را نيز يادآور شد كه نتايج حاصل از فرض تغيير شكل هاي كوچك را 

مي‌ توان با تقريب خوبي درمورد صفحات   نيز به كار برد در  محاسبه تغيير شكل هاي كوچك فرضيات زير معتبر مي باشند سطح مياني صفحه دستخوش تغيير شكل نمي گردد و به همين خاطر مي توان آنرا سطح خنثي ناميد

مقادير عمود بر سطح مياني بعد از خمش نيز عمود بر اين سطح باقي مي مانند

از تنش هاي عمود بر سطح صفحه مي توان صرفنظر كرد

به كمك اين فرضيات مي توان تمام مولفه هاي تنش صفحه را برحسب تغيير شكل كه خود تابعي از دو متغير y,x مي باشد بدست آورد

تابع w=fx,y با اعمال شرايط تكيه گاهي صفحه بايددر يك معادله ديفرانسيل درجه چهارم صدق نمايد از حل اين معادله ديفرانسيل محاسبه گشتاورهاي خمشي و مؤلفه هاي تنش امكان پذير مي باشد لازم به توجه است كه با قبول فرض دوم اثر تمامي تنش هاي برشي كه در سطح صفحه اثر مي كند ناديده گرفته شده است

صفحات نازك با خميدگي بزرگ تغيير شكل هاي بزرگ اين فرض كه سطح مياني صفحه دستخوش تغيير شكل نمي گردد از نقطه نظر رياضي زماني قابل قبول است كه صفحه پس از خمش به صورت سطح استوانه درآيد استوانه از رده سطوح قابل تسطيح مي باشد اين سطح تك انحناء بوده و در آن سطح مياني هيچگونه تغيير طولي نمي دهد

واقعيت اين است كه در تئوري تغيير شكل هاي كوچك نيز سطح مياني دچار تغيير شكل مي شود اما در مورد صفحات رده اول مي توان اثر آن را ناديده گرفت چنانچه تغيير شكل خمشي w در حدود ضخامت و يا بيشتر باشد از تغيير شكل سطح مياني نمي توان صرف نظر كرد و بايد منظور نمود بدين ترتيب در صفحات رده دوم فرض فوق معتبر نبوده و در نتيجه معادله ديفرانسيل خيز w به صورت غير خطي در مي آيد و لذا حل آن به مراتب دشوارتر مي شود در حالتي كه خيز بزرگ باشد شرايط انتهايي نيز تغيير مي كند و لبه هاي آزاد يا گيردار صفحه در تنش هاي كششي موثر واقع مي شوند سطح مياني در دو جهت y,x تغيير طول مي دهد و به علت بزرگ بودن خيز انحناء صفحه زياد و محسوس مي باشد به عبارت ديگر تنش هاي غشايي سطح مياني در خمش مؤثر شده و تغيير شكل صفحه به صورت تركيبي از خمش معمولي و تغيير شكل غشايي بيان مي گردد

در تحليل صفحات نازك با خميدگي بزرگ بحث رياضي تغيير شكل صفحه علاوه بر تئوري كلاسيك خطي شامل تغيير فرم صفحه ميانتار نيز مي شود كه در نتيجه معادلات تعادل صفحه تبديل به دو معادله كوپله غير خطي مي شود كه تاكنون حل بسته آن انجام نشده است

تحليل هاي رياضي

فهرست مطالب

مقدمه

انواع صفحه

پرتاب موازي

تصحيح به روش نيوتن  رافسون

حل معادلات به روش پرتاب موازي

تعيين مقادير پيش فرض

بررسي ژاكوپين و همگرايي براي معادلات حاكم

نزديكي حدسهاي اوليه

طريقه محاسبه ژاكوپين

رفع ابهام رياضي

رفع ابهام فيزيكي

محاسبات عددي و ارائه نتايج

بارگذاري روي هر دو صفحه